Question

下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（　　）

A．ex＞ex

B．x-x2＞0

C．sinx＞-x+1

D．x＞ln（1+x）

Answer 1

当x=1时，e^x=ex，故A中e^x＞ex对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
当x=1时，x-x²=0，故B中x-x²＞0对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
又∵y=sin在（0，

π

2

）上函数值由0递增到1，
y=-x+1在（0，

π

2

）上函数值由1递减到1-

π

2

，
故在区间（0，

π

2

）上存在实数x使sinx=-x+1，故C中sinx＞-x+1对任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
而∵函数y=x-ln（1+x）的导函数y'=1-

1

x

在x∈（0，+∞）有，y'＞0恒成立
故y=x-ln（1+x）在区间（0，+∞）上为增函数，y＞y|_x=0=0，
故x＞ln（1+x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立
故选D