【题目】记所有非零向量构成的集合为V,对于 , ∈V, ≠ ,定义V( , )=|x∈V|x =x |
(1)请你任意写出两个平面向量 , ,并写出集合V( , )中的三个元素;
(2)请根据你在(1)中写出的三个元素,猜想集合V( , )中元素的关系,并试着给出证明;
(3)若V( , )=V( , ),其中 ≠ ,求证:一定存在实数λ1 , λ2 , 且λ1+λ2=1,使得 =λ1 +λ2 .
【答案】
(1)解:比如 =(1,2), =(3,4),设 =(x,y),
由 = ,可得x+2y=3x+4y,
即为x+y=0,
则集合V( , )中的三个元素为(1,﹣1),(2,﹣2),(3,﹣3);
(2)解:由(1)可得这些向量共线.
理由:设 =(s,t), =(a,b), =(c,d),
由 = ,可得as+bt=cs+dt,
即有s= t,
即 =( t,t),
故集合V( , )中元素的关系为共线;
(3)证明:设 =(s,t), =(a,b), =(c,d),
=(u,v), =(e,f),
若V( , )=V( , ),
即有as+bt=cs+dt,au+bv=ue+fv,
解得a= c+ e+ ,
可令d=f,可得λ1= ,
λ2= ,
则一定存在实数λ1,λ2,且λ1+λ2=1,使得 =λ1 +λ2 .
【解析】(1)比如 =(1,2), =(3,4),设 =(x,y),运用数量积的坐标表示,即可得到所求元素;(2)由(1)可得这些向量共线.理由:设 =(s,t), =(a,b), =(c,d),运用数量积的坐标表示,以及共线定理即可得到;(3)设 =(s,t), =(a,b), =(c,d), =(u,v), =(e,f),运用新定义和数量积的坐标表示,解方程可得a,即可得证.
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【题目】如图,椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A、B,且|AB|= |BF|.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P、Q两点,OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,M是棱PC上一点.若PA=AC=a,则当△MBD的面积为最小值时,直线AC与平面MBD所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知 , , 是同一平面内的三个向量,其中 =(﹣ ,1).
(1)若| |=2 且 ∥ ,求 的坐标;
(2)若| |= ,( +3 )⊥( ﹣ ),求向量 , 的夹角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)= 其中M∪P=R,则下列结论中一定正确的是( )
A.函数f(x)一定存在最大值
B.函数f(x)一定存在最小值
C.函数f(x)一定不存在最大值
D.函数f(x)一定不存在最小值
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【题目】如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF= ,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
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【题目】已知函数f(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x)(a>0且a≠1),
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的方程|f(x)|=2的解集为 ,求a的值.
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【题目】已知直线l过点P(﹣2,1).
(1)当直线l与点B(﹣5,4)、C(3,2)的距离相等时,求直线l的方程;
(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为 时,求直线l的方程.
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