Question

17．国际上钻石的重量计算单位为克拉．已知某种钻石的价值y（美元）与其重量x（克拉）的平方成正比，且一颗为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
已知，价值损失百分率=$\frac{原有价值-现有价值}{原有价值}$×100%．切割中重量的损耗不计
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1：4的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（3）若把一颗钻石切割成重量分别为m克拉和n克拉的两颗钻石，问：当m、n满足何种关系时，价值损失的百分率最大？

Answer 1

分析 （1）先由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx²，再根据3克拉的价值是54000美元求得k值，即可求得此钻石的价值与重量的函数关系式；
（2）根据价值损失百分率的公式，设两颗钻石的重量为m、4m克拉，代入进行求解即可．
（3）两颗钻石的重量为m、n克拉，原有价值是6000（m+n）²，现有价值是6000m²+6000n²；价值损失的百分率为：$\frac{{6000{{（{m+n}）}^2}-6000{m^2}-6000{n^2}}}{{6000{{（{m+n}）}^2}}}×100%$，化简整理，得其最大值，即钻石价值损失的最大百分率．

解答 解：（1）依题意设y=kx²，又当x=3时，y=54000，
∴k=6000，
故y=kx²=6000x²（x＞0）；
（2）设两颗钻石的重量为m、4m克拉
则原有价值是6000（5m）²，现有价值是6000m²+6000（4m）²，
价值损失的百分率=$\frac{6000•（5m）^{2}-6000{m}^{2}-6000•（4m）^{2}}{6000•（5m）^{2}}$=$\frac{8}{25}$=32%，
即价值损失的百分率是32%．
（3）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000（m+n）²，
现有价值是6000m²+6000n²；价值损失的百分率为：
$\frac{{6000{{（{m+n}）}^2}-6000{m^2}-6000{n^2}}}{{6000{{（{m+n}）}^2}}}×100%$=$\frac{2mn}{{{{（{m+n}）}^2}}}×100%≤\frac{{2×{{（{\frac{m+n}{2}}）}^2}}}{{{{（{m+n}）}^2}}}=\frac{1}{2}$，
当且仅当m=n时取等号；
所以，当m=n时，钻石价值损失的百分率最大．

点评 本题通过建立函数模型，考查正比例函数；通过所给公式，求价值损失率；通过求价值损失的百分率的最大值，考查基本不等式，属于综合性题目．