Question

16．数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}中，b_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n，数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，可得2S_n=${a}_{n}+{a}_{n}^{2}$，利用递推关系化为：化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由于数列{a_n}的各项均为正数，可得a_n-a_n-1-1=0，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n=n!．可得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{1}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}$≤1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$，再利用“裂项求和”即可证明．

解答 （1）解：∵对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，∴2S_n=${a}_{n}+{a}_{n}^{2}$，
∴当n≥时，$2{S}_{n-1}={a}_{n-1}+{a}_{n-1}^{2}$，相减可得：2a_n=${a}_{n}+{a}_{n}^{2}$-$（{a}_{n-1}+{a}_{n-1}^{2}）$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n-a_n-1-1=0，
当n=1时，$2{a}_{1}={a}_{1}+{a}_{1}^{2}$，a₁＞0，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）证明：b_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n=n!．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为T_n=$\frac{1}{1}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}$≤1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．