Question

已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x，且过点D(

2

，

3

)．l₁，l₂是过点P(-

2

，0)的两条互相垂直的直线，且l₁，l₂与双曲线各有两个交点，分别为A₁，B₁和A₂，B₂．
（1）求双曲线的方程；
（2）求l₁斜率的范围
（3）若|A1B1|=

5

|A2B2|，求l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）依题意可设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0），将点D(

2

，

3

)坐标代入即可得出λ；
（2）由题意l₁，l₂都存在非零斜率，否则l₁，l₂与曲线不都相交．设l₁的斜率为k，则l₁的方程为y=k(x+

2

)）．与双曲线的方程联立可得(k2-1)x2+2

2

k2x+2k2-1=0 (*)，此方程有两个不等实根，可得

k2-1≠0 △＞0

；又两直线垂直，则l₂的方程为y=-

1

k

(x+

2

)，同理可得k的取值范围，进而得到k的取值范围．
（3）利用弦长公式和已知条件即可得出．

解答：解：（1）依题意可设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）
将点D(

2

，

3

)坐标代入得2-3=λ⇒λ=-1
故所求双曲线方程为y²-x²=1．
（2）由题意l₁，l₂都存在非零斜率，否则l₁，l₂与曲线不都相交．
设l₁的斜率为k，则l₁的方程为y=k(x+

2

)）．
由

y=k(x+ 2 ) y2-x2=1

消去y得(k2-1)x2+2

2

k2x+2k2-1=0 (*)
依题意方程（*）有两个不等实根

k2-1≠0 △=8k4-4(k2-1)(2k2-1)=4(3k2-1)＞0 ⇒k2＞ 1 3 且k2≠1

．
又两直线垂直，则l₂的方程为y=-

1

k

(x+

2

)，
完全类似地有

1

k 2

＞

1

3

且

1

k 2

≠1，
∴

1

3

＜k2＜1且k2≠1．
从而k∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k≠±1．
（3）由（2）得|A1B1|=

1+k2

12 k 2   -4 ( k 2   -1)2

．
完全类似地有|A2B2|=

1+ 1 k2

12 1 k2 -4 ( 1 k2 -1)2

．
∵|A₁B₁|=

5

|A₂B₂|，∴

1+k2

12k2-4 (k2-1)2

=

5

1+ 1 k2

12× 1 k2 -4 ( 1 k2 -1)2

，
化为k²=2．
解得k=±

2

．
从而求l₁的方程y=

2

（x+

2

）或y=-

2

（x+

2

）．

点评：本题考查了等轴双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、弦长公式、相互垂直的直线斜率之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．