Question

4．解下列不等式：
（1）-x²+8x-3＞0
（2）-4x²+12x-9＜0
（3）x²+2x+8＜0
（4）已知函数f（x）=（ax-1）•（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求a，b．

Answer 1

分析 （1）-x²+8x-3＞0化为x²-8x+3＜0，由x²-8x+3=0，解得x=4$±\sqrt{13}$，即可得出不等式的解集；
（2）-4x²+12x-9＜0化为4x²-12x+9＞0，即（2x-3）²＞0，解得即可；
（3）由于x²+2x+8=（x+1）²+7＞0，可得x²+2x+8＜0的解集为∅．
（4）由（ax-1）•（x+b）＞0即ax²+（ab-1）x-b＞0的解集是（-1，3），可得-1，3是ax²+（ab-1）x-b=0的实数根，a＜0，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）-x²+8x-3＞0化为x²-8x+3＜0，由x²-8x+3=0，解得x=4$±\sqrt{13}$，
∴$4-\sqrt{13}＜x＜4+\sqrt{13}$，
∴原不等式的解集为：$（4-\sqrt{13}，4+\sqrt{13}）$．
（2）-4x²+12x-9＜0化为4x²-12x+9＞0，即（2x-3）²＞0，解得x$≠\frac{3}{2}$，
∴原不等式的解集为：{x∈R|x$≠\frac{3}{2}$}．
（3）∵x²+2x+8=（x+1）²+7＞0，∴x²+2x+8＜0的解集为∅．
（4）∵（ax-1）•（x+b）＞0即ax²+（ab-1）x-b＞0的解集是（-1，3），
∴a＜0，-1，3是ax²+（ab-1）x-b=0的实数根，
∴-1+3=$\frac{1-ab}{a}$，-1×3=-$\frac{b}{a}$，
解得a=-1，b=-3．
∴a=-1，b=-3．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次的实数根的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．