Question

13．判断y=3^x+3^-x的单调性，并求最值．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，定义域内设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可得到${y}_{1}-{y}_{2}=（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，容易看出分x₁，x₂∈（-∞，0]和x₁，x₂∈（0，+∞）两种情况判断y₁与y₂的关系，从而得出该函数的单调性，而根据单调性即可得出其最值．

解答 解：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
${y}_{1}-{y}_{2}={3}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{3}^{{x}_{1}}}-{3}^{{x}_{2}}-\frac{1}{{3}^{{x}_{2}}}$=$（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$；
∴${3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}＜0$；
①x₁，x₂∈（-∞，0]时，x₁+x₂＜0，${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＜1$；
∴$1-\frac{1}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＜0$；
∴$（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）＞0$；
即y₁＞y₂；
∴原函数在（-∞，0]上单调递减；
②x₁，x₂∈（0，+∞）时，x₁+x₂＞0；
∴${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$，$\frac{1}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＜1$；
∴$1-\frac{1}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴y₁＜y₂；
∴原函数在（0，+∞）上单调递增；
∴x=0时该函数取最小值2，无最大值．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义判断函数单调性的方法和过程，作差的方法比较y₁，y₂，作差之后是分式的一般要通分，并且一般要提取公因式，以及指数函数的单调性，函数最值的概念及其求法．