Question

命题甲：a∈R，关于x的方程|x|=ax+1（a＞0）有两个非零实数解；
命题乙：a∈R，关于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集为空集；
当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：当甲真时，设y=|x|和y=ax+1（a＞0），即两函数图象有两个交点．
则0＜a＜1
当乙真时，不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集为空集，；①a²-1=0且a-1=0，得：a=1时 满足题意，
②a²-1＜0且△≤0，即也满足
则
∴当甲乙有但仅有一个为真命题时，即或
∴
分析：利用图象法，我们求出函数y=|x|和y=ax+1图象有两个交点时，即命题甲为真命题时，实数a的取值范围，根据一元二次不等式恒成立的充要条件，我们可以求出命题乙为真命题时，实数a的取值范围，进而根据甲、乙中有且仅有一个为真命题，分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中利用图象法，求出命题甲为真命题时，实数a的取值范围，根据一元二次不等式恒成立的充要条件，求出命题乙为真命题时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．