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精英家教网如图,在矩形ABCD中,已知AB=3AD,E,F为AB的两个三等分点,AC,DF交于点G;
(I)建立适当的平面直角坐标系,证明:EG⊥DF;
(II)设点E关于直线AC的对称点为E',问点E'是否在直线DF上,并说明理由.
分析:(I)建立适当的平面直角坐标系,求出直线EG和DF的方程,利用斜率之间的关系证明:EG⊥DF;
(II)求出点E关于直线AC的对称点为E'的坐标,判断E'的坐标是否满足DF的方程即可证明.
解答:解:(I)以AB所在的直线为x轴,以AD所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系如图,设AD的长度为1,
则A(0,0),D(0,1),E(1,0),F(2,0),C(3,1),精英家教网
∴直线AC的方程为y=
1
3
x
,①
直线DF的方程为y=-
1
2
x+1
,②
由①②解得交点坐标G(
6
5
2
5
),
∴EG的斜率kEG=2,DF的斜率kDF=-
1
2

∴-
1
2
×2=-1

即EG⊥DF;
(II)设点E'的坐标为(x1,y1),
则EE'的中点M(
x1+1
2
y1
2
),
由题意得
y1
2
=
1
3
?
x1+1
2
y1
x1-1
?
1
3
=-1

x1=
4
5
y1=
3
5

∴E'(
4
5
3
5
),
3
5
=(-
1
2
)•
4
5
+1

∴E'在直线DF上.
点评:本题主要考查直线方程的求法,建立平面之间坐标系是解决本题的关键,考查学生的运算能力.
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3
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12
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