Question

下列命题中，正确的是

①③

（1）平面向量

a

与

b

的夹角为60°，

a

=(2，0)，|

b

|=1，则|

a

+

b

|=

7

（2）若x≠0，则x+

1

x

≥2
（3）若命题p：“?x∈R，x²-x-1＞0”，则命题p的否定为“?x∈R，x²-x-1≤0
（4）“a=1是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件．

Answer 1

分析：由已知中向量

a

的坐标，求出向量

a

的模，进而利用平方法求出|

a

+

b

|2，进而求出|

a

+

b

|，可判断①；
利用基本不等式求出x≠0时，x+

1

x

的取值范围，可判断②；
根据特称命题的否定方法，求出原命题的否定命题，可判断③；
根据直线垂直的充要条件，及充要条件定义，可判断④．

解答：解：∵

a

=(2，0)，|

b

|=1，∴|

a

|=2，故

a

•

b

=1，故|

a

+

b

|2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=7，故|

a

+

b

|=

7

，故①正确；
当x＞0时，x+

1

x

≥2，当x＜0时，x+

1

x

≤-2，故x≠0，则x+

1

x

≥2或x+

1

x

≤-2，故②错误；
命题p：“?x∈R，x²-x-1＞0”时，￢p：“?x∈R，x²-x-1≤0”故③正确；
当“a=1”时，“直线x-y=0与直线x+y=0互相垂直”，当“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”时，“a=±1”，故“a=1是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，故④错误；
故答案为：①③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了向量模的求法，基本不等式，特称命题的否定及直线垂直的充要条件等知识点，难度不大，属于基础题．