Question

在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且2cos（B-C）-1=4cosBcosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，2sinB=sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用两角和、差的余弦公式化简式子，结合内角的范围和内角和定理求出角A；
（Ⅱ）由正弦定理化简2sinB=sinC得：2b=c，再由题意和余弦定理求出b²，代入三角形的面积公式求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为2cos（B-C）-1=4cosBcosC，
所以2（cosBcosC+sinBsinC）-1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1，可得2cos（B+C）=-1，
则cos（B+C）=-

1

2

．
由0＜B+C＜π，可得B+C=

2π

3

，
所以A=π-（B+C）=

π

3

；
（Ⅱ）因为2sinB=sinC，所以由正弦定理得2b=c，
又a=3，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则9=b²+4b²-4b²cos

π

3

，解得b²=3，
所以△ABC的面积s=

1

2

bcsinA=b²sinA=3×

3

2

=

3 3

2

．

点评：本题考查两角和、差的余弦公式，正弦、余弦定理的应用，注意三角形内角的范围和内角和定理．