Question

15．已知函数f（x）=log_a（x-a）+1（a＞0，且a≠1）过点（6，3）．
（1）求实数a的值．
（2）设函数h（x）=a^x+1，函数F（x）=[h（x）+2]²的图象恒在函数G（x）=h（2+x）+m+2的图象上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点（6，3）代入得，2=log_a（6-a），2=log_aa²，解方程即可；
（2）代入，整理可得∴[2^x+3]²≥2^x+2+3+m，利用换元法得出t²+2t+6≥m恒成立，只需求出左式的最小值即可．

解答 解：（1）把点（6，3）代入得，
3=log_a（6-a）+1，
∴log_aa²=log_a（6-a）
∴a²+a-6=0，
∴a=2
（2）h（x）=2^x+1，F（x）=[2^x+3]²，G（x）=2^x+2+5，
∴[2^x+3]²≥2^x+2+3+m，
∴令t=2^x，t＞0，
∴t²+2t+6≥m恒成立，
∵t＞0，得t²+2t+6≥6，
∴m≤6．

点评 考查了对数方程的解法和恒成立问题的转换，属于常规题型，应熟练掌握．