给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．
(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)垂直.
解析试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出
，利用短轴上的一个端点到的距离为，求出
，解出
，
，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知，，则，，
所以椭圆方程为. 2分
易知准圆半径为
，
则准圆方程为. 4分
(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设
的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
，
当的方程为
时，此时与准圆交于点
，
，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是
或
，
即
为或，显然直线垂直； 6分
同理可证直线的方程为
时，直线也垂直． 7分
②当的斜率都存在时，设点
，其中
.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
由
消去
，得
.
由
化简整理得，
. 因为，
所以有
. 10分
设直线的斜率分别为
，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足方程，
所以
，即垂直． 12分
综合①②知，垂直． 13分
考点：1.椭圆方程；2.分类讨论思想解题.
应用题作业本系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，设AB，CD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，连结AE，AF分别与CD交于G、H
（Ⅰ）设EF中点为
，求证：O、、B、P四点共圆
（Ⅱ）求证:OG =OH.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
四边形ABCD的四个顶点都在抛物线
上，A，C关于
轴对称，BD平行于抛物线在点C处的切线。
（Ⅰ）证明：AC平分
；
（Ⅱ）若点A坐标为
，四边形ABCD的面积为4，求直线BD的方程。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
经过点
且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
．点
、
在轨迹上，且关于
轴对称，过线段
（两端点除外）上的任意一点作直线
，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点
、
．
（1）求轨迹的方程；
（2）证明：
；
（3）若点到直线
的距离等于
，且△
的面积为20，求直线
的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
的离心率为
，直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为
，右焦点
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点
，
线段
垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（Ⅲ）设与
轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知定圆
的圆心为
，动圆
过点
，且和圆相切，动圆的圆心的轨迹记为
．
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)若点
为曲线上一点，试探究直线：
与曲线是否存在交点? 若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
右焦点的直线
交
于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
.
(Ι)求M的方程；
（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值
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的左顶点为
，
是椭圆
上异于点
与点
，求
的值；
，求