Question

已知圆O：x²+y²=1和点A（2，1），过圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA．若以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，则圆P的半径的最小值为________．

Answer 1

-1
分析：由题意可得：|PQ|²=|PO|²-1=a²+b²-1，又PQ=PA，可得2a+b-3=0．因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，所以圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．又因为PO=1+圆P的半径，所以当圆P的半径最小即为PO最小，即点O到直线2a+b-3=0的距离最小，进而解决问题．
解答：由题意可得：过圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，
所以|PQ|²=|PO|²-1=a²+b²-1．
又因为|PA|²=（a-2）²+（b-1）²，并且满足PQ=PA，
所以整理可得2a+b-3=0．
因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，
所以两圆相切或相交，
即圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．
又因为PO=1+圆P的半径，
所以当圆P的半径最小即为PO最小，
即点O到直线2a+b-3=0的距离最小，并且距离的最小值为，
所以圆P的半径的最小值为-1．
故答案为：-1．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，以及两点之间的距离公式．