Question

15．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若PA=AD，求证：平面MND⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）可由条件得到AB，AD，AP三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后设AB=2a，AD=2b，AP=2c，这样便可求出图形上各点的坐标，从而可以得出向量$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AB}$的坐标，求出$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AB}=0$便得到MN⊥AB；
（2）PA=AD时，由（1）便知b=c，将（1）中各点坐标中的c都换上b，从而可以求出向量$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{MD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的坐标，可设平面MND的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，从而由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DN}=0}\end{array}\right.$便可求出向量$\overrightarrow{m}$的坐标，同理求出向量$\overrightarrow{n}$的坐标，然后证明$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，便得出$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，从而证出平面MND⊥平面PDC．

解答 证明：（1）根据条件知AB，AD，AP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AD=2b，AP=2c，则：

A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c），M（a，0，0），N（a，b，c）；
∴$\overrightarrow{AB}=（2a，0，0），\overrightarrow{MN}=（0，b，c）$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}=0$；
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{MN}$；
即MN⊥AB；
（2）若PA=AD，则b=c，则D（0，2b，0），M（a，0，0），N（a，b，b），C（2a，2b，0），P（0，0，2b）；
∴$\overrightarrow{MN}=（0，b，b），\overrightarrow{MD}=（-a，2b，0）$，$\overrightarrow{DC}=（2a，0，0），\overrightarrow{DP}=（0，-2b，2b）$；
设平面MND的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=b（{y}_{1}+{z}_{1}）=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MD}=-a{x}_{1}+2b{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=-{z}_{1}}\\{{x}_{1}=-\frac{2b}{a}{z}_{1}}\end{array}\right.$；
取z₁=1，则$\overrightarrow{m}=（-\frac{2b}{a}，-1，1）$；
同理设平面PDC的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2a{x}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2b（{y}_{2}-{z}_{2}）=0}\end{array}\right.$，取z₂=1得：$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-1+1=0$；
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
∴平面MND⊥平面PDC．

点评 考查通过建立空间坐标系，利用空间向量解决立体几何问题的方法，能求空间点的坐标，由点的坐标可求空间向量的坐标，向量垂直的充要条件，以及平面法向量的概念及求法，清楚两平面垂直时法向量的关系．