Question

已知两圆C₁：x²+y²=4，C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，直线l：x+2y=0，
（1）求经过圆C₁、C₂的交点且和直线l相切的圆的方程；
（2）若实数x，y满足（1）中所求圆的方程，求

y

x

的最大值，2y-x的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）联立方程组求得两个圆的交点，设圆心的坐标为M（a，b），则由MA=MB，还等于M到直线直线l：x+2y=0的距离求得a、b的值，可得圆心和半径MA，从而求得圆的方程．
（2）分别设k=

y

x

，2y-x=b，利用到直线和圆相切时得到最值即可得到结论．

解答： 解：（1）由

x2+y2=4 x2+y2-2x-4y+4=0

解得

x=0 y=2

或

x= 8 5 y= 6 5

，
故两个圆的交点为A（0，2）、B（

8

5

，

6

5

），
设圆心的坐标为M（a，b），则由MA=MB，还等于M到直线直线l：x+2y=0的距离．
可得

a2+(b-2)2

=

(a- 8 5 )2+(b- 6 5 )2

=

|a+2b|

5

，
解得a=

1

2

，b=1，
故半径MA=

5 4

=

5

2

，
故要求的圆的方程为（x-

1

2

）²+（y-1）²=

5

4

．
（2）设k=

y

x

，则直线方程为kx-y=0，
当直线和圆相切时，
则圆心（

1

2

，1）到直线的距离d=R，
即d=

| 1 2 k-1|

1+k2

=

5

2

，即|k-2|=

5

•

1+k2

，
解得k=-

1

2

，
设2y-x=b，则直线方程为x-2y+b=0，
当直线和圆相切时，则圆心（

1

2

，1）到直线的距离d=R，
则d=

| 1 2 -2+b|

5

=

5

2

，
即|b-

3

2

|=

5

2

，
解得b=4或b=-1，
故2y-x的最小值为-1．

点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及利用直线和圆相切的位置关系求参数问题．综合考查圆的性质．