Question

18．己知（1+2x）²ⁿ展开式的二项式系数之和是（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式的二项式系数之和的64倍．
（1）求（1+2x）²ⁿ展开式的第3项；
（2）求（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式含x的项．

Answer 1

分析 （1）由二项式系数的性质列出方程求出n的值，再求（1+2x）¹²展开式的第3项即可；
（2）由二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式的通项公式，即可求出展开式中含x的项．

解答 解：（1）由二项式系数的性质，可得：
2²ⁿ=64×2ⁿ，解得n=6；
所以（1+2x）¹²展开式的第3项为：
T₂₊₁=C₁₂²•（2x）²=264x²；
（2）由二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式的通项公式为：
T_r+1=C₆^r•（2$\sqrt{x}$）^6-r•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r=（-1）^r•2^6-r•C₆^r•x^3-r，
令3-r=1，可得r=2，
所以其展开式中含x项为：
T₂₊₁=2⁴•${C}_{6}^{2}$x=240x．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应注意项的系数与二项式系数的区别．