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20.已知f1(x)=sinx+cosx,且f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),…(n∈N*,n≥2),则f1($\frac{π}{4}$)+f2($\frac{π}{4}$)+…+f2015($\frac{π}{4}$)=0.

分析 利用三角函数求导法则求出f2(x)、f3(x)、f4(x),…观察所求的结果,归纳其中的规律,发现标号的周期性为4,再将代入,每四项的和是一个常数,即可求得正确答案.

解答 解:f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,
f3(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,
f4(x)=-cosx+sinx,
f5(x)=sinx+cosx,
以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x)
又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,
∴f1($\frac{π}{4}$)+f2($\frac{π}{4}$)+…+f2015($\frac{π}{4}$)=f1($\frac{π}{4}$)+f2($\frac{π}{4}$)+f3($\frac{π}{4}$)=-f4($\frac{π}{4}$)=cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{4}$=0,
故答案为:0.

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用,属于基础题.熟练掌握三角函数的求导法则,利用其中的函数周期性则解决本题的关键.

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