Question

20．已知f₁（x）=sinx+cosx，且f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x），…（n∈N^*，n≥2），则f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+…+f₂₀₁₅（$\frac{π}{4}$）=0．

Answer 1

分析 利用三角函数求导法则求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+…+f₂₀₁₅（$\frac{π}{4}$）=f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+f₃（$\frac{π}{4}$）=-f₄（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{4}$=0，
故答案为：0．

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于基础题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．