Question

（2012•湖北）设a，b，c，∈R₊，则“abc=1”是“

1

a

+

1

b

+

1

c

≤a+b+c”的（　　）

A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要的条件

Answer 1

分析：由abc=1，推出

abc

=1，代入不等式的左边，证明不等式成立．利用特殊值判断不等式成立，推不出abc=1，得到结果．

解答：解：因为abc=1，所以

abc

=1，则

1

a

+

1

b

+

1

c

=(

1

a

+

1

b

+

1

c

)

abc

=

ab

+

bc

+

ac

≤a+b+c．
当a=3，b=2，c=1时，

1

a

+

1

b

+

1

c

≤a+b+c显然成立，但是abc=6≠1，
所以设a，b，c，∈R₊，则“abc=1”是“

1

a

+

1

b

+

1

c

≤a+b+c”的充分条件但不是必要条件．
故选A．

点评：本题考查充要条件的应用，不等式的证明，特殊值法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．