Question

17．△ABC是边长为3的等边三角形，$\overrightarrow{BF}$=λ$\overrightarrow{BC}$（$\frac{1}{2}$＜λ＜1），过点F作DF⊥BC交AC边于点D，交BA的延长线于点E．

（1）当λ=$\frac{2}{3}$时，设$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{EF}$；
（2）当λ为何值时，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{FC}$取得最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，通过向量的线性运算，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{EF}$；
（Ⅱ）用λ表示$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{FC}$的模，然后求解数量积，利用二次函数的最值求解即可．

解答 满分（12分）．
解：（Ⅰ）由题意可知：$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow b$，且$|{\overrightarrow{BF}}|=3×\frac{2}{3}=2$，-----------------（1分）
$|{\overrightarrow{BE}}|=4$，故$\overrightarrow{BE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BA}=\frac{4}{3}\overrightarrow a$，-------------------（2分）
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BE}=-\frac{4}{3}\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b$---------------------（5分）
（Ⅱ）由题意，$|{\overrightarrow{BF}}|=3λ，|{\overrightarrow{FC}}|=3-3λ$，--------------------（6分）
$|{\overrightarrow{BE}}|=6λ，|{\overrightarrow{AE}}|=6λ-3$，---------------------（8分）
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FC}=（6λ-3）（3-3λ）cos60°=-9{λ^2}+\frac{27}{2}λ-\frac{9}{2}$-----（10分）
当$λ=-\frac{{\frac{27}{2}}}{-9×2}=\frac{3}{4}$$∈（\frac{1}{2}，1）$时，---------------------（11分）
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FC}$有最大值$\frac{9}{16}$．---------------------（12分）

点评 本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，向量的数量积，二次函数最值等知识，考查运算求解能力，考查数形结合、转化与化归的思想方法．