Question

已知四边形ABCD为菱形，AB=6，∠BAD=60°，两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等，如图，E、M、N分别在AD、
AB、AP上，且AM=AE=2，AN=

1

3

AP，MN⊥PE．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面体SPABC的体积．

Answer 1

分析：（I）取AD中点O，连PO，BO，由等腰三角形三线可一，可得PO⊥AD，BO⊥AD，进而根据线面垂直的判定和性质可得AD⊥PB，由平行线分线段成比例定理，可证得MN∥PB，结合MN⊥PE得PB⊥PE，进而根据线面垂直的判定定理得到PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）设P，S在底面的射影分别为P₁，S₁，取PS中点K，连接BK，DK，由线面夹角的定义，可得∠KBD即可为平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角，解三角形即可得到平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角．
（III）设P，S在△ABD和△BDC上的射影为H₁，H₂，根据PS∥AC，可得B-ACSP为四棱锥，分别计算四棱锥底面面积和高，代入即可得到多面体SPABC的体积．

解答：证明：（Ⅰ）取AD中点O，连PO，BO，则PO⊥AD，BO⊥AD
AD⊥平面PBO，
∴AD⊥PB（2分）
又 AN=

1

3

AP，AM=

1

3

AB
∴MN∥PB
∵MN⊥PE
∴PB⊥PE
∵PE∩AD=E
∴PB⊥平面PAD（3分）
解：（Ⅱ）设P，S在底面的射影分别为P₁，S₁，则
由所给的三棱锥均为正三棱锥且两三棱锥全等，
故PP₁∥SS₁，且PP₁=SS₁，∴四边形PSS₁P₁为平行四边形，
∴PS∥S₁P₁，又P₁，S₁分别为△ABD，△BCD的中心，
∴P₁，S₁在菱形的对角线AC上，
∴PS∥AC，即PS∥平面ABCD…（5分）
设平面PSB与平面ABCD的交线为l，取PS中点K，连接BK，DK，
由PB=BS=PD=DS?

BK⊥PS DK⊥PS BK∩DK=K

?PS⊥平面KBD
∴BD⊥PS?

l⊥KB l⊥BD

?∠KBD为平面PSB与平面ABCD所成二面角的平面角…（7分）
在Rt△PP₁A中，AP1=

2

3

×ABsin600=

2

3

×6×

3

2

=2

3

，
∴PP1=

AP2-A P 2 1

=

6

=KO，
∴tan∠KBD=

KO

BO

=

6

3

…（9分）
（III）设P，S在△ABD和△BDC上的射影为H₁，H₂，则H₁，H₂在直线AC上且PH₁∥SH₂，且PH₁=SH₂，
∴则H₁H₂SP为平行四边形，
∴PS∥AC
∴B-ACSP为四棱锥…7分
设PB=a，则PO²=a²-9，又BO=3

3

，由（1）知∠BPO=90°
∴a²+a²-9=（3

3

）²，
∴a²=18，即PB=3

2

∵PH₁⊥平面ABD，
∴PH₁⊥BD，
又BD⊥AC
∴BD⊥平面ACSP
设AC∩BD=F
∵四棱锥B-ACSP的高为BF，且BF=3…（9分）
∵H₁F=

1

3

AF，H₂F=

1

3

CF，
∴H₁H₂=

1

3

AC=2

3

，
∴PS=2

3

，
在Rt△PH₁A中，
PH₁=

PA2-A1H

=

6

∴S_ACSP=

(2 3 +6 3 )×6

2

=12

2

∴多面体SPABC的体积V=

1

3

•12

2

•3=12

2

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得AD⊥PB，PB⊥PE，（II）的关键是证得∠KBD即可为平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角，（III）的关键是证得B-ACSP为四棱锥．