Question

如图，四边形ABCD中，E，F分别为AC、BD的中点，设向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ），且

AB

=2

b

-

a

，

CD

=2k

c

+

a

．
（1）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）试用

AB

、

CD

表示

EF

；
（3）若β为自变量，求|

EF

|的最小值f（k）．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥(

b

-2

c

)可得

a

•(

b

-2

c

)=0，将题中向量

a

、

b

、

c

的坐标代入并利用三角恒等变换公式化简整理，可得sin（α+β）-2cos（α+β）=0，即可求得tan（α+β）的值；
（2）根据E、F分别为AC、BD的中点，利用向量线性运算法则法进行化简，即可得到

EF

=

1

2

(

AB

 +

CD

)；
（3）由（2）得

EF

=

1

2

(

AB

 +

CD

)=（kcosβ+sinβ，4cosβ-4ksinβ），根据向量模的公式结合三角恒等变换公式化简得|

EF

|²=

17

2

（k²+1）-

15

2

[2ksin2β-（1-k²）cos2β]，而2ksin2β-（1-k²）cos2β=（1+k²）sin（2β-θ）（其中tanθ=

1-k2

2k

），由此可得|

EF

|²的最小值为1+k²，从而得到|

EF

|的最小值f（k）=

1+k2

．

解答：解：（1）由题意，可得
∵

a

=(4cosα，sinα)，

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ），
∴

b

-2

c

=(sinβ，4cosβ)-(2cosβ，-8sinβ)=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）
∵

a

⊥(

b

-2

c

)，
∴

a

•(

b

-2

c

)=4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
整理，可得sinβcosα-2cosαcosβ+sinαcosβ+2sinαsinβ=0，
即sin（α+β）-2cos（α+β）=0
∴tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=2．
（2）连结AF，由题意可得

EF

=

AF

-

AE

=

1

2

(

AD

+

AB

)-

1

2

AC

=

1

2

(

AD

+

AB

-

AC

)
∵

AD

-

AC

=

CD

，
∴

EF

=

1

2

(

AD

+

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

 +

CD

)；
（3）∵

AB

=2

b

-

a

=2（sinβ，4cosβ）-（4cosα，sinα）=（2sinβ-4cosα，8cosβ-sinα），

CD

=2k

c

+

a

=2k（cosβ，-4sinβ）+（4cosα，sinα）=（2kcosβ+4cosα，sinα-8ksinβ），
∴

EF

=

1

2

(

AB

 +

CD

)=（kcosβ+sinβ，4cosβ-4ksinβ）
可得|

EF

|²=（kcosβ+sinβ）²+（4cosβ-4ksinβ）²=（k²+16）cos²β-30ksinβcosβ+（1+16k²）sin²β
∵cos²β=

1

2

（1+cos2β），sin²β=

1

2

（1-cos2β），sinβcosβ=

1

2

sin2β，
∴|

EF

|²=

1

2

（k²+16）（1+cos2β）-15ksin2β+

1

2

（1+16k²）（1-cos2β）
=

17

2

（k²+1）-

15

2

[2ksin2β-（1-k²）cos2β]，
∵2ksin2β-（1-k²）cos2β=

4k2+(1-k2)2

sin（2β-θ）=（1+k²）sin（2β-θ），（tanθ=

1-k2

2k

）
∴当sin（2β-θ）=1时，2ksin2β-（1-k²）cos2β有最大值为1+k²，
由此可得|

EF

|²=

17

2

（k²+1）-

15

2

[2ksin2β-（1-k²）cos2β]的最小值为

17

2

（k²+1）-

15

2

（k²+1）=k²+1．
因此，|

EF

|的最小值为f（k）=

k2+1

．

点评：本题主要考查了平面向量的数量积公式及其运算性质、向量模的公式、向量的线性运算法则和三角恒等变换公式等知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．