Question

（2010•郑州三模）已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AC=AA₁=A₁C．
（Ⅰ）求侧棱AA₁与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的正切值；
（Ⅲ）求侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）确定∠A₁AC为侧棱AA₁与底面ABC所成的角，可得结论；
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A₁M，MN，NA₁，可得∠A₁NM即为所求二面角的平面角，从而可得结论；
（3）作BH⊥AC于点H，因为BB₁∥侧面A₁ACC₁，所以点B到侧面A₁ACC₁的距离即为BB₁到侧面A₁ACC₁的距离，利用等面积可求．

解答：解：（1）因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，AA₁?侧面A₁ACC₁，
侧面A₁ACC_1∩底面ABC=AC
所以直线AA₁在底面ABC内的射影为直线AC
故∠A₁AC为侧棱AA₁与底面ABC所成的角
又AC=AA₁=A₁C，所以∠A₁AC=60°为所求． （4分）
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A₁M，MN，NA₁
由（1）知A₁M⊥AC
故A₁M⊥底面ABC，A₁M⊥AB
又MN∥BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A₁M=M，所以AB⊥平面A₁MN
则∠A₁NM即为所求二面角的平面角
在RtA₁MN中，A1M=

3

2

AC=3，MN=

1

2

BC=1，∠A1MN=90°
所以tan∠A1MN=

A1M

MN

=3，即所求二面角的正切值为3．     （8分）
（3）作BH⊥AC于点H，因为BB₁∥侧面A₁ACC₁
所以点B到侧面A₁ACC₁的距离即为BB₁到侧面A₁ACC₁的距离．
由（1）（2）知，BH的长即为所求
在Rt∠ABC中，BH=

AB•BC

AC

=

2 6

3

所以侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离为

2 6

3

．        （12分）

点评：本题考查空间角，考查线面距离，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．