Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=3，D 是BC的中点．
（I）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（II）求证：平面ADC₁⊥平面DCC₁；
（III）在侧棱CC₁上是否存在一点E，使得三棱锥C-ADE的体积是，若存在，求CE长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于点O，连接OD．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
∴四边形ACC₁A₁为矩形，可得点O为A₁C的中点．
∵D为BC中点，得DO为△A₁BC中位线，
∴A₁B∥OD．
∵OD⊆平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）∵底面ABC正三角形，D是BC的中点
∴AD⊥CD
∵CC₁⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴CC₁⊥AD．
∵CC₁∩CD=C，∴AD⊥平面DCC₁，
∵AD⊆平面ADC₁，∴平面ADC₁⊥平面DCC₁．…（9分）
（Ⅲ）假设在侧棱CC₁上存在一点E，使三棱锥C-ADE的体积是，设CE=m
∵三棱锥C-ADE的体积V_C-ADE=V_A-CDE
∴××CD×CE×AD=，得×××m×=．
∴m=，即CE=
∴在侧棱CC₁上存在一点E，当CE=时，三棱锥C-ADE的体积是．…（14分）
分析：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于点O，连接OD．可得DO为△A₁BC中位线，A₁B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A₁B∥平面ADC₁．
（II）由CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AD．正三角形ABC中，中线AD⊥BC，结合线面垂直的判定定理，得AD⊥平面DCC₁，最后由面面垂直的判定定理，证出平面ADC₁⊥平面DCC₁．
（III）假设在侧棱CC₁上存在一点E且CE=m，满足三棱锥C-ADE体积是，利用△CDE作为底、AD为高，得三棱锥A-CDE的体积，即为三棱锥C-ADE的体积，建立等式即可解出m的值，所以在侧棱CC₁上存在点E，使三棱锥C-ADE的体积是．
点评：本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于基础题．