Question

若对任意的实数m，n，都有f（m）+f（n）=f（m+n），且f（1007）=2，则f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2013）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件推导函数取值规律单调递减区间为f（x）+f（2014-x）=f（2014）=4，根据规律性进行求和．

解答： 解：∵f（1007）=2，
∴f（1007）+f（1007）=4
∵f（m）+f（n）=f（m+n）
∴f（1007）+f（1007）=f（2014）=4
即f（1）+f（2013）=f（2014）=4
f（3）+f（2011）=f（2014）=4
…
即f（x）+f（2014-x）=f（2014）=4，
设f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2013）=a，
则f（2013）+f（2011）+…+f（1）=a，
则2a=1007[f（1）+f（2013）]=1007×4
即a=2014．
故答案为：2014．

点评：本题主要考查函数求值问题，根据抽象函数的条件得到f（x）+f（2014-x）=f（2014）=4，是解决本题的关键．