Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-30n．
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求使得S_n最小的序号n的值．

Answer 1

分析 （1）n≥2，${S_{n-1}}=2{（n-1）^2}-30（n-1）$，a_n=S_n-S_n-1=4n-32，由此能求出结果．
（2）${S_n}=2{n^2}-30n=2{（n-\frac{15}{2}）^2}-\frac{225}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-30n．
∴n≥2，${S_{n-1}}=2{（n-1）^2}-30（n-1）$，
a_n=S_n-S_n-1=4n-32，
n=1时，a₁=S₁=-28，也适合上式，
∴这个数列的通项公式为a_n=4n-32．
又∵n≥2，a_n-a_n-1=（4n-32）-[4（n-1）-32]=4，
∴{a_n}是等差数列．
（2）${S_n}=2{n^2}-30n=2{（n-\frac{15}{2}）^2}-\frac{225}{2}$，
又∵n是正整数，
∴n=7或8时，S_n最小，
最小值是S₇=S₈=2×$\frac{1}{4}$-$\frac{225}{2}$=-112．

点评 本题考查等差数列的判断，考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的前n项和取最小值时项数的求法，是中档题．