Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=

1

3

Gd′，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为

8

3

．
（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；
（2）求直线DP与平面PBG所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用四面体的体积公式求出PG的长，再以GP，GB，GC构造长方体，外接球的直径为长方体的对角线，求出R，进一步确定表面积．
（2）先做出直线与平面的夹角进一步求出结果．

解答： 解：（1）四棱锥P-ABCD中，PG⊥平面ABCD
∵四面体P-BCG的体积为

8

3

．
∴

1

3

•

1

2

BG•GC•PG=

8

3

∵GB=GC=2，
解得：PG=4
以GP，GB，GC构造长方体，外接球的直径为长方体的对角线，
所以：（2R）²=16+4+4
解得：R=

6

S=4πR²=24π
（2）由GB=GC=2
∴△BGC为等腰三角形，
GE为∠BGC的角平分线，作DK⊥BG交BG的延长线于K，
∴DK⊥平面BGP．
由平面几何知识可知：DK=GK=

3

2

，PD=

41 2

设直线DP与平面PBG所成角为α
∴sinα=

DK

DP

=

3 82

82

点评：本题考查的知识要点：几何体的体积公式和表面积公式的应用，线面夹角的应用．