Question

（2011•合肥三模）设函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则函数y=f（x）在区间[0，100]上至少有个

50

零点．

Answer 1

分析：用条件f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，推导出原函数的两个对称中心（即得零点）和周期，再用周期性在[0，100]内求零点的个数

解答：解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数
∴f（-x+1）=-f（x+1）---------------①
f（-x-1）=-f（x-1）-----------------②
由①知f（x）关于点（1，0）对称，∴f（1）=0
由②知f（x）关于点（-1，0）对称，∴f（-1）=0
又由②得f（-x+1）=-f（x-3）---------③
联立①③可得：f（x+1）=f（x-3）
∴f（x）=f（x-4）
∴原函数周期T=4
∴f（1+mT）=f（1+4m）=0（m∈N）
f（-1+nT）=f（-1+4n）=0（n∈N）
令0≤1+4m≤100，0≤-1+4n≤100
得：-

1

4

≤m≤

99

4

，

1

4

≤n≤

101

4

又∵m，n∈N
∴m，n各有25个取值
∴在[0，100]上至少有50个零点
故答案为：50

点评：本题以零点为载体考查函数的对称性和奇偶性，要注意已知条件的转化和函数性质的灵活应用．属简单题