Question

（2012•安庆模拟）已知x∈[-1，1]，关于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限个解，则a的取值是（　　）

• A．-

  tan21+2

  2(2tan1+1)

  或-

  1

  2

• B．

  tan21+2

  2(2tan1-1)

  或-

  tan21+2

  2(2tan1+1)

• C．

  tan21+2

  2(2tan1-1)

  或-

  tan21+2

  2(2tan1+1)

  或-

  1

  2

• D．-

  1

  2

  或 

  tan21+2

  2(2tan1-1)

Answer 1

分析：已知x∈[-1，1]，关于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限个解，可求tanx∈[-tan1，tan1]，把tanx看成一个未知数，得到一个二次函数，利用二次函数的图象和根的判别式，△=0与△＞0，从而进行分类讨论求解；

解答：解：已知x∈[-1，1]，关于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限个解，tanx∈[-tan1，tan1]，
∴令t=tanx∈[-tan1，tan1]，可得f（t）=t²-4at+2+2a，对称轴为t=2a，
若△=0，可得△=16a²-8a-8=0解得a=1或-

1

2

，
当a=1时，f（t）=（t-2）²≤0可得t=2∉[-tan1，tan1]，故a=1舍去；
当a=-

1

2

时，f（t）=（t-1）²≤0可得t=1∈[-tan1，tan1]，a=-

1

2

满足题意；
若△＞0，可得a＞1或a＜-

1

2

，
对称轴t=2a，
当a＞1时，2a＞2，f（t）开口向上，要求f（t）=t²-4at+2+2a，有有限个解
∴f（tan1）=0，只有一个解x=tan1，（tan1）²-4atan1+2+2a=0，解得a=

tan21+2

2(2tan1-1)

＞1满足题意，
当-tan1＜2a＜1时，f（t）＜0有无数个解，不满足题意；
当2a≤-tan1时，有f（-tan1）=0，可得，（-tan1）²+4atan1+2+2a=0，解得a=-

tan21+2

2(2tan1+1)

，因为tan1=1.557，
∴-2×

tan21+2

2(2tan1+1)

＞-tan1，不满足题意；
综上：a=-

1

2

或a=

tan21+2

2(2tan1-1)

，
故选D；

点评：此题主要考查根的存在性及其个数的判断，本题不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限个解，说明不可能有无数个解，一定会在端点处取得零点问题，是一道中档题；