Question

已知函数f（x）是定义域为R的函数，且满足f（1）=2，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜3e^x-1的解集为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数g（x）=

f(x)+1

ex-1

，利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：构造函数g（x）=

f(x)+1

ex-1

，则g′（x）=

f′(x)-f(x)-1

ex-1

，
∵满足f（1）=2，f′（x）＜f（x）+1，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，g（1）=f（1）+1=3．
∴不等式f（x）+1＜3e^x-1变为g（x）=

f(x)+1

ex-1

＜g(1)，
解集为{x|x＞1}．
故答案为：{x|x＞1}．

点评：本题考查了构造函数法、利用导数研究其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．