Question

（本题16分）

已知函数f(x)＝x³－ax²－bx＋a²，x∈R ，a，b为常数。

（1）若函数f(x)在x＝1处有极值10，求实数a，b的值；

（2）若函数f(x)是奇函数，

     ①方程f(x)＝2在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；

     ②不等式f(x)＋2b≥0对x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围。

Answer 1

（1）f’(x)＝3x²－2ax－b，

由f(x)在x＝1处有极值10，得f’(1)＝0，f(1)＝10。                      …………2分

即3－2a－b＝0，1－a－b＋a^‑2＝10，解得a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11。    ……3分

经检验，a＝3，b＝－3不合题意，舍去。

∴a＝－4，b＝11。                              ……………………………………4分

（2）由于函数f(x)的定义域为R，由函数f(x)是奇函数，得f(0)＝0，∴a＝0。        ……5分

①由f(x)＝2，得f(x)－2＝0，令g(x)＝f(x)－2＝x³－bx－2，则方程g(x)＝0在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解。  ∵g’(x)＝3x²－b，                                

  （ⅰ）若b≤0，则g’(x)≥0恒成立，且函数g(x)不为常函数，∴g(x)在区间[－2,4]上为增函数，g(0)＝0，所以，g(x)＝0在区间[－2,4]上有且只有一个实数解。不合题意，舍去。

……………………………………6分

（ⅱ）若b＞0，则函数g(x)在区间(－∞，－)上为增函数，在区间(－，)上为减函数，在区间(，＋∞)上为增函数，由方程g(x)＝0在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解，可得                      ……………………………………9分

解得   ∴b∈                      ……………………………………10分

  ②由不等式f(x)＋2b≥0，得x³－bx＋2b≥0，即(x－2)b≤x³，

（ⅰ）若x－2＝0即x＝2时，b∈R；            ……………………………………11分             

（ⅱ）若x－2＜0即x∈时，b≥在区间上恒成立，令h(x)＝，则b≥h(x)_max。∵h’(x)＝，∴h’(x)＜0在x∈上恒成立，所以h(x)在区间上是减函数，∴h(x)_max＝h(1)＝－1，∴b≥－1。          ……………………………………13分

（ⅲ）若x－2＞0即x∈时，b≤在区间上恒成立，则b≤h(x)_min。由（ⅱ）可知，函数所以h(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，∴h(x)_min＝h(3)＝27，∴b≤27。                                 ……………………………………15分

综上所述，b∈[－1，27]。                        ……………………………………16分