Question

8．若对于任意的x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a≥$\frac{1}{5}$
• B． a＞$\frac{1}{5}$
• C． a＜$\frac{1}{5}$
• D． a≤$\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．

解答 解：由x＞0，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$，
令t=x+$\frac{1}{x}$，则t≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2
当且仅当x=1时，t取得最小值2．
$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$取得最大值$\frac{1}{5}$，
所以对于任意的x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
则a≥$\frac{1}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．