Question

15、如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PE：EC=AF：FB=3：2．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）设EF与PA、BC所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点，证明BC与面ADP垂直即可，由线面垂直推线线垂直即可；
（2）在AC上取点G，使AG：GC=3：2，连接EG、FG，则EG∥PA，FG∥BC，从而∠EGF为PA与BC所成的角，再根据第一问的结论就可求得．

解答：证明：如图
（1）取BC的中点D，连接AD、PD．
则BC⊥平面ADP，AP?平面ADP，
∴AP⊥BC．
（2）在AC上取点G，使AG：GC=3：2，连接EG、FG，则EG∥PA，FG∥BC，从而∠EGF为PA与BC所成的角，由（1）知∠EGF=90°，而∠GEF、∠GFE分别是EF与PA、EF与BC所成的角α、β，
∴α+β=90°．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．