Question

已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．

（I）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（II）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．

Answer 1

考点：

平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

专题：

综合题；空间向量及应用．

分析：

（I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．

（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为，即可求a：b的值．

解答：

（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC

因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．

（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD

因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角

又，且

从而

∴

所以9a²=16b²，即．

点评：

本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．