Question

【题目】如图，有三种类型的纸片(可翻转)。

证明:（1）当时，的纸板不能分割成若干个I型、II型的纸片;

（2）当n为大于2的偶数时，的纸板可以分割成若干个II型、III型的纸片。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)用反证法证明.

假设纸板可以分割成u个I型、v个II型纸片.

将纸板的各方格按图6方式从左上向右下标号.

接下来，将填有1、2、3、4的单元格依次记为.则每个I型纸片包含各1个;每个II型纸片或包含各1个，或包(或，或，或)各2个.

设上述II型纸片各有个.则所有纸片共包含

个，个，个，个，其奇偶性相同.

但当时，纸板上各有个，有个，有个，其奇偶性不同，矛盾.

(2)用数学归纳法证明.

当时，如下图，命题成立.

假设可将n×n(n为大于2的偶数)纸板分割.则对(n+4)×(n+4)纸板，将其分成中心的n×n纸板及边上宽为2个方格的环.

如下图，可将环分割为若干个Ⅱ、Ⅲ型(以n=6为例，其余情况只需在各边增加若干个Ⅱ型纸片即可).中心的n×n纸板由归纳假设可以分割

综上，命题成立.