Question

已知=（cosx，sinx），=（cosx，2cosx-sinx），f（x）=•+||，x∈（，π]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=-1，a=c=2，求•．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意求出函数f（x）的表达式，利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出函数的最大值；
（Ⅱ）利用f（B）=-1求出B的值，a=c=2，然后直接求•．
解答：解：（Ⅰ）∵=（cosx，sinx），=（cosx，2cosx-sinx）
∴f（x）=•+||=cos²x+sinx（2cosx-sinx）+1=cos²x-sin²x+2sinxcosx+1=cos2x+sin2x+1
=2sin（2x+）+1．…4分
∵x∈（，π]，∴π＜2x+≤π⇒-1≤sin（2x+）≤，
∴f（x）max=f（π）=2．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（B）=2sin（2x+）+1=-1，∴sin（2B+）=-1，
而π＜2B+≤π，∴2B+=⇒B=．…9分
又a=c=2，∴•=accos（π-B）=2×2cos=2．…12分．
点评：本题是中档题，考查向量的数量积的求法，三角函数的化简求值，最值的应用，考查计算能力．