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定义:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=
f(b)-f(a)b-a
,则称x0是函数y=f(x)在区间[a,b]上的一个均值点.已知函数f(x)=-x2+mx+1在区间[-1,1]上存在均值点,则实数m的取值范围是
(0,2)
(0,2)
分析:函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,故有-x2+mx+1=
f(1)-f(-1)
1-(-1)
在(-1,1)内有实数根,求出方程的根,让其在(-1,1)内,即可求出实数m的取值范围.
解答:解:∵函数f(x)=-x2+mx+1在区间[-1,1]上存在均值点,
∴关于x的方程-x2+mx+1=
f(1)-f(-1)
1-(-1)
在(-1,1)内有实数根.
由-x2+mx+1=
f(1)-f(-1)
1-(-1)
⇒x2-mx+m-1=0,解得x=m-1,x=1.
又1∉(-1,1),
∴x=m-1必为均值点,即-1<m-1<1⇒0<m<2.
∴所求实数m的取值范围是(0,2),
故答案为:(0,2).
点评:本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题.在做关于新定义的题目时,一定要先认真的研究定义理解定义,再按定义做题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=
f(b)-f(a)b-a
,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点.如y=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=
f(b)-f(a)b-a
,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点.如y=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.
(1)判断函数f(x)=-x2+4x在区间[0,9]上是否为平均值函数?若是,求出它的均值点;若不是,请说明理由;
(2)若函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,试确定实数m的取值范围.

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定义:如果函数y=f(x)(x∈D)满足(1)f(x)在D上是单调函数;(2)存在闭区间|a,b|⊆D,使f(x)在区间[a,b]上值域也是[a,b],则称f(x)为闭函数,则下列函数:
(1)f(x)=x2+2x,x∈[-1,+∞);(2)f(x)=x3,x∈[-2,3];(3)f(x)=lgx,x∈[1,+∝)
其中是闭函数的是
(1)(2)
(1)(2)
.(只填序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=数学公式,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点.如y=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.
(1)判断函数f(x)=-x2+4x在区间[0,9]上是否为平均值函数?若是,求出它的均值点;若不是,请说明理由;
(2)若函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,试确定实数m的取值范围.

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