Question

13．已知圆O：x²+y²=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

Answer 1

分析 根据题意，求出AC的中点的轨迹方程，求出AC的最大值与最小值，即可得出它的取值范围．

解答 解：设AC的中点为P（x，y），则OP⊥AC，|PA|=|PM|
∴$\sqrt{4-{x}^{2}-{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{7}{4}$，
∴|PM|_max=$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$，∴|PM|_min=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，∴|AC|_max=$\sqrt{7}$+1，|AC|_min=$\sqrt{7}$-1，
故答案为：[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

点评 本题考查了弦长AC的取值范围，也考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．