Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=

3

2

x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，椭圆C另一个焦点是F₁，且

MF1

•

MF2

=

9

4

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ的内切圆面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据直线y=

3

2

x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，可知焦点在x轴上且M点坐标（c，

3

2

c）．F₁（-c，0），F₂（c，0）．利用

MF1

•

MF2

=

9

4

，可得c=1，设椭圆C方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
M点代入椭圆C方程，即可求得椭圆C方程；
（Ⅱ）要使△F₂PQ的内切圆面积最大，即使△F₂PQ的面积最大，根据F₂F₁为定长，可得当且仅当直线L过（-1，0），与x轴垂直时△F₂PQ的面积最大．

解答：解：（Ⅰ）根据直线y=

3

2

x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，
可知焦点在x轴上且M点坐标（c，

3

2

c）．F₁（-c，0），F₂（c，0）．
∵

MF1

•

MF2

=

9

4

，
∴

9

4

c=

9

4

，∴c=1．设椭圆C方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
M点坐标（1，

3

2

）代入椭圆C方程得

1

a2

+

9 4

b2

=1，
∵c=

a2-b2

-1，
∴a=2，b=

3

．
∴椭圆C方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）要使△F₂PQ的内切圆面积最大，即使△F₂PQ的面积最大，
∵F₂F₁为定长，
∴当且仅当直线L过（-1，0），与x轴垂直时△F₂PQ的面积最大
此时P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

）
∴|F₂P|=|F₂Q|=

5

2

，|PQ|=3
设△F₂PQ的内切圆半径为r，则

1

2

×3×2=

1

2

×(3+

5

2

+

5

2

)r
∴r=

3

4

，其面积S=

9π

16

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的内切圆的面积，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．