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【题目】在研究函数 f ( x )= 的性质时,某同学受两点间距离公式启发,将f(x)变形为f(x)= ,并给出关于函数f(x)以下五个描述:
①函数 f(x)的图象是中心对称图形;
②函数 f(x)的图象是轴对称图形;
③函数 f(x)在[0,6]上是增函数;
④函数 f(x)没有最大值也没有最小值;
⑤无论m为何实数,关于x的方程 f(x)﹣m=0都有实数根.
其中描述正确的是

【答案】①③④
【解析】解:函数 f ( x )= = ,如图表示点P(x,0)到点A(0,2)的距离|PA|与到点B(6,2)的距离|PB|之差;结合图形可知,在x=3处,f(x)=0,﹣6<PA﹣PB<6 ∴函数 f(x)的图象是中心对称图形,对称中心为(3,0),故①正确,②错;
在(﹣∞,+∞)递增,值域为(﹣6,6)
故③,函数 f(x)在[0,6]上是增函数,正确;
故④函数 f(x)没有最大值也没有最小值,正确;
故⑤无论m为何实数,关于x的方程 f(x)﹣m=0都有有实数根,错.
所以答案是:①③④

【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点,需要掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系才能正确解答此题.

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X

1

2

3

P

P1

P2

P3

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A.P1=P2
B.P2=P3
C.P1=P3
D.P1=P2=P3

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A.
B.
C.
D.

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A.3
B.2
C.
D.

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A.1﹣
B.1﹣
C.1﹣
D.1﹣

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