Question

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，如果sin²B=sinAsinC，且c=2a则cosB的值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理可得sin²B=sinAsinC，转化成b²=ac，由c=2a，代入即可求得b²=2a²，根据余弦定理，代入即可求得cosB的值；

解答 解：在△ABC中由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
∵sin²B=sinAsinC，
∴b²=ac，
∵c=2a，
∴b²=2a²，
由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{2a×2a}$=$\frac{3}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．