Question

4．与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦点，且过点P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$）的双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

Answer 1

分析 根据椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得到a²=25，b²=9，所以c²=a²-b²=16，再设所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1，（m＞0，n＞0）．然后结合题意：双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦点，且过点P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$），列出方程组并解之可得m=9，n=7，从而得到所求双曲线的方程．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a²=25，b²=9，
∴c²=a²-b²=16
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1，（m＞0，n＞0）
∵双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦点，且过点P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$），
∴m+n=16且$\frac{18}{m}-\frac{7}{n}$=1，解之可得m=9，n=7，
∴双曲线方程是$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

点评 本题给出与已知椭圆共焦点的双曲线且经过一个已知定点，求双曲线的标准方程，着重考查了椭圆的基本概念和双曲线的简单几何性质，属于中档题．