Question

10．设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）．
（Ⅰ）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（Ⅱ）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当直线过原点时，a=2，当直线l不过原点时，由截距相等，得a=0，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）由题意知l在x轴，y轴上的截距分别为$\frac{a-2}{a+1}，a-2$，由题意知$\frac{1}{2}|\frac{a-2}{a+1}||a-2|=6$，由此能求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，a+1≠0，即a≠-1．…（1分）
当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，
此时a=2，直线l的方程为3x+y=0；…（3分）
当直线l不过原点时，即a≠2时，
由截距相等，得$\frac{a-2}{a+1}=a-2$，即a=0，
直线l的方程为x+y+2=0，
综上所述，所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．…（7分）
（Ⅱ）由题意知，a+1≠0，a-2≠0，
且l在x轴，y轴上的截距分别为$\frac{a-2}{a+1}，a-2$…（9分）
由题意知，$\frac{1}{2}|\frac{a-2}{a+1}||a-2|=6$，即（a-2）²=12|a+1|，…（11分）
当a+1＞0时，解得$a=8±6\sqrt{2}$…（13分）
当a+1＜0时，解得a=-4，综上所述$a=8±6\sqrt{2}$或a=-4．…（15分）

点评 本题考查直线方程的求法，考查直线方程中参数a的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．