A. | 函数f(x)为偶函数 | B. | 函数f(x)在(0,π)上有最大值无最小值 | ||
C. | 函数f(x)有2个不同的零点 | D. | 函数f(x)在(-π,0)上单调递减 |
分析 A.根据函数奇偶性的定义进行判断,
B.将函数分解为g(x)=x-$\frac{1}{x}$,h(x)=cosx,讨论g(x)和h(x)的单调性和符号,进行判断,
C.根据函数零点的定义解方程f(x)=0进行判断,
D.将函数分解为g(x)=x-$\frac{1}{x}$,h(x)=cosx,讨论g(x)和h(x)的单调性即可.
解答 解:A.函数的定义域关于原点对称,则f(-x)=(-x+$\frac{1}{x}$)•cosx=-(x-$\frac{1}{x}$)•cosx=-f(x),即函数f(x)为奇函数.故A错误,
B.当x∈(0,π)时,设g(x)=x-$\frac{1}{x}$,h(x)=cosx,
当x∈(0,1]时,g(x)<0,且为增函数,h(x)为减函数,且h(x)>0,此时f(x)为增函数,
当x∈(1,$\frac{π}{2}$)时,g(x)>0,且为增函数,h(x)为减函数,且h(x)>0,此时f(x)≥0,
当x∈[$\frac{π}{2}$,π)时,g(x)>0,且为增函数,h(x)为减函数,且h(x)<0,此时f(x)<0,则函数f(x)为减函数无最小值,
则函数存在极大值,同时也是最大值,故B正确,
C.由f(x)=(x-$\frac{1}{x}$)•cosx=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$cosx=0得cosx=0或x2-1=0,即x=±1或x=$\frac{π}{2}$或x=-$\frac{π}{2}$,即函数f(x)有4个不同的零点,故C错误,
D.当x∈(-π,0)时,设g(x)=x-$\frac{1}{x}$,h(x)=cosx,
当x∈(-π,-$\frac{π}{2}$)时,g(x)和h(x)都是增函数且h(x)<0,g(x)<0,此时f(x)为减函数,
当x∈(1,π)时,g(x)和h(x)都是增函数且h(x)>0,g(x)>0,此时f(x)为增函数,故函数f(x)在(-π,0)上不单调,故D错误,
故选:B.
点评 本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断,涉及函数奇偶性,单调性以及函数与方程的应用,综合性较强,难度较大.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{121}{27}$ | B. | $\frac{122}{27}$ | C. | $\frac{121}{81}$ | D. | $\frac{122}{81}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{n}{2(n+2)}$ | B. | $\frac{n}{2(n+1)}$ | C. | $\frac{2n}{n+2}$ | D. | $\frac{n}{n+1}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | -1 | C. | ±1 | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{2}{π}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 120 | B. | 150 | C. | 200 | D. | 240 |
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