Question

直角坐标系xOy中，

i

、

j

分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若

AB

=2 

i

+

j

，

AC

=3 

i

+k 

j

，则k的可能值个数是

-6，-1

．

Answer 1

分析：利用

BC

=

AC

 -

AB

=

i

+（k-1）

j

，再分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°加以讨论，利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值．

解答：解：∵

AB

=2

i

+

j

  ，

AC

=3

i

 +k

j

，
∴

BC

=

AC

-

AB

=

i

+(k-1)

j

因为△ABC为直角三角形，
（1）∠A=90°时，

AB

•

AC

=6+k=0⇒k=-6；
（2）∠B=90°时，

AB

•

BC

=2+k-1=0⇒k=-1；
（3））∠C=90°时，

BC

•

AC

=3+k(k-1)=0⇒k∈∅
综上所述，k=-6或-1
故答案为：-6，-1．

点评：本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件．解答的关键是利用向量垂直的充要条件列出等式，所得到方程的所有解即为可能的k值．