Question

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

试题分析：
解题思路：（1）利用直径所对的圆周角为直角，证明即可；（2）利用全等三角形即（1）结论证明.
规律总结：本题考查几何证明中的直线与圆的位置关系，培养学生的观察能力以及分析问题的能力.
试题解析：（1）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.
由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.
（2）连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.
由于
于是ED是直径，由（1）得ED=AB.