Question

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C：xy=1在矩阵

.

cosθ sinθ -sinθ cosθ

.

（0≤θ＜

π

2

）对应的变换作用下得到曲线F，且曲线F的方程为x²-y²=a²（a＞0），求θ和a的值．

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀）是曲线C上任意一点，则P（x₀，y₀）在矩阵[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

]对应的变换作用下变为P′（x₀′，y₀′）满足[

x ′ 0   y ′ 0

]=[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

][

x0   y0

]，由P满足x₀y₀=1可得（

x

′  2 0

-

y

′  2 0

）sinθcosθ+（cos²θ-sin²θ）x₀′y₀′=1，结合曲线F的方程，可得θ，进而得到a值．

解答：解：设P（x₀，y₀）是曲线C上任意一点，
点P（x₀，y₀）在矩阵[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

]（0≤θ＜

π

2

）对应的变换作用下变为P′（x₀′，y₀′）
则由[

x ′ 0   y ′ 0

]=[

cosθ sinθ -sinθ cosθ

][

x0   y0

]
∴[

x0   y0

]=[

cosθ -sinθ sinθ cosθ

][

x ′ 0   y ′ 0

]
∴

x0= x ′ 0 cosθ- y ′ 0 sinθ y0= x ′ 0 sinθ+ y ′ 0 cosθ

又∵点P在曲线C上，
∴由x₀y₀=1得：（

x

′  2 0

-

y

′  2 0

）sinθcosθ+（cos²θ-sin²θ）x₀′y₀′=1（*）
要使（*）变为x²-y²=a²（a＞0），
须有：cos²θ-sin²θ=cos2θ=0
∵0≤θ＜

π

2

∴θ=

π

4

此时a=

2

∴θ=

π

4

，a=

2

点评：本题考查的知识点是系数矩阵的逆矩阵解方程组，其中熟练掌握矩阵的运算方法是解答的关键．