Question

已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y）．
（I）求当x，y∈R时，P满足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率；
（II）求当x，y∈Z时，P满足（x-2）²+（y-2）²≤4的概率．

Answer 1

分析：（I）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求区域为正方形ABCD的面积以及（x-2）²+（y-2）²≤4的点的区域即以（2，2）为圆心，2为半径的圆的面积，然后求比值即为所求的概率．
（II）因为x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，且（x-2）²+（y-2）²≤4的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．

解答：解：（I）如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），满足（x-2）²+（y-2）²≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
∴所求的概率P1=

1 4 π×22

4×4

=

π

16

．
（II）满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点有25个，
满足x，y∈Z，且（x-2）²+（y-2）²≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P2=

6

25

．

点评：本题主要考查几何概型中的面积类型和古典概型，两者最明显的区别是古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的．