Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＞0，f（1）=-3．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）求函数f（x）在[-4，4]上的最值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0）的值；在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，变形可得f（x）+f（-x）=f（0），由①的结论，即可得证；
（2）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，结合（1）的结论，有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）成立，结合题意，可得f（x）为减函数；
（3）即可得f（x）在[-4，4]上的最大值与最小值分别为f（-4）、f（4），借助f（x+y）=f（x）+f（y）与f（1）的值，可得f（4）、f（-4）的值，即可得答案．

解答： （1）证明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），
变形可得f（0）=0，
因为x，y∈R时，f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x）为奇函数．
（2）解：f（x）为R上的减函数．
理由如下：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）
=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
因为x＜0时f（x）＞0，所以f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）为减函数．
（3）解：由于f（x）为减函数．
所以f（x）在[-4，4]上的最大值为f（-4），最小值为f（4）．
因为f（4）=2f（2）=4f（1）=-12，f（-4）=-f（4）=12，
所以函数在[-4，4]上的最大值为12，最小值为-12．

点评：本题考查抽象函数的运用，涉及函数奇偶性、单调性的判断与应用，难点在于根据f（x+y）=f（x）+f（y），运用特殊值法，分析得到函数f（x）的性质以及函数值．