Question

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数g(x)=ax+

b

x

（a、b是正常数）在区间(0，

b a

)上为减函数，在区间(

b a

，+∞)上为增函数．参考该定理，解决下面问题：是否存在实数m同时满足以下两个条件：①不等式f(x)-

m

2

＞0恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，试求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，从而x=-2kx对x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）先利用①不等式f(x)-

m

2

＞0恒成立等价于f(x)min＞

m

2

，建立不等关系求出m的范围，再根据②要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来得m=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

），然后利用所给定理求出m的范围，最后综合即可．

解答：解：（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．…（2分）
即log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，log₄4^x=-2kx，…（4分）
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．∴k=-

1

2

．…（6分）
（利用f（-1）=f（1）解出k=-

1

2

，可得满分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x，
∴m=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

）．…（8分）
设u=2^x+

1

2x

，又设t=2^x，则u=t+

1

t

，由定理，知u_min=u（1）=2，…（10分）
∴m≥log₄2=

1

2

．故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥

1

2

．…（12分）
f(x)-

m

2

＞0?f(x)min＞

m

2

而f(x)min=

1

2

，
∴

1

2

＞

m

2

即m＜1，
综上所述，

1

2

≤m＜1…（14分）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及根的个数的判定和利用新定理等有关基础知识，属于中档题．